Intérêts de Recherche

Travaux en cours

La limite non relativiste d'un modèle relativiste de physique nucléaire

avec Maria J. Esteban, Loïc Le Treust et Mathieu Lewin

Une de mes thématiques de recherche est dédié à l'étude d'une limite non relativiste particulière d'un modèle de la théorie de champ moyen relativiste du noyau atomique. Cette limite est intéressante car certaines propriétés qualitatives des équations relativistes peuvent être déduites à partir de ses solutions. En collaboration avec Maria J. Esteban et Loïc Le Treust, nous avons étudié ce problème dans le cas particulier d'une particule. Nous avons démontré l'existence de solutions pour une large classe de paramètres et nous avons observé numériquement que certaines propriétés qualitatives, notamment la forme des potentiels mésoniques à l'intérieur et à l'extérieur du noyau atomique, sont très bien décrites par les solutions de notre modèle. Ceci justifie l'intérêt de ce nouveau modèle. Plus récemment, en collaboration avec Mathieu Lewin, nous avons montré que la solution radiale positive est unique et non dégénérée ce qui nous a permis de construire, à partir de celle-ci et par une méthode de bifurcation, une solution du modèle de champ moyen relativiste sous-jacent.

Ce modèle présente encore beaucoup de questions ouvertes. L'objectif est de fournir une étude mathématique rigoureuse complète de celui-ci (étude du problème de Cauchy, existence de solutions du problème avec plusieurs particules, limite lorsque le nombre de particules tend vers l'infini, etc.).

Systèmes de Coulomb, modèle de Ginzburg-Landau, énergie renormaliseé et réseau d’Abrikosov

avec Sylvia Serfaty

L'énergie coulombienne renormalisée $W$ est une interaction de type logarithmique entre points dans le plan, calculée via une renormalisation. Cette énergie, introduite par Sandier-Serfaty, est un outil important dans l'étude de minimiseurs de l'énergie du modèle de Ginzburg-Landau de la supraconductivité et du gaz de Coulomb unidimensionnel et bidimensionnel. Les expériences physiques sur les supraconducteurs et les résultats obtenus par Sandier-Serfaty portent à conjecturer que le réseau d'Abrikosov triangulaire est un minimiseur de $W$ parmi toutes les configurations de points possibles. La résolution de la conjecture semble pour l'instant très difficile. Toutefois, des résultats intermédiaires peuvent être obtenus dans cette direction. Une première étape consiste donc à étudier la distribution par unité de volume de l'énergie renormalisée pour les minimiseurs. En collaboration avec Sylvia Serfaty, nous montrons que l'énergie renormalisée d'un minimiseur ainsi que le nombre de points sont distribués de façon uniforme. Pour le modèle de Ginzburg-Landau, cela signifie que les vortex sont uniformément distribués et leur énergie également. Dans le cas du gaz de Coulomb bidimensionnel, notre résultat redémontre par une méthode purement d'énergie le résultat d'équidistribution pour l'ensemble de points de Fekete pondérés. De plus, nous montrons que l'énergie est également distribuée de façon uniforme.

L'équation de Schrödinger en optique non linéaire

avec Stephan de Bièvre, Guillaume Dujardin, Matteo Conforti, Arnaud Mussot, Alexandre Kudlinski et Stefano Trillo

Dans le cadre du LabEx CEMPI, les mathématiciens du Laboratoire Paul Painlevé et de l'équipe Inria MEPHYSTO ont commencé une collaboration avec les physiciens du PhLAM (laboratoire de physique des lasers de l’Université Lille 1) sur la modélisation, l'analyse et la simulation numérique de la propagation des ondes dans les fibres optiques réalisées et testées au PhLAM.
La propagation d'un paquet d'ondes dans une fibre optique est décrite par une équation de Schrödinger non linéaire où les coefficients de la dispersion de la vitesse de groupe et de la non-linéarité peuvent varier le long de la direction de propagation. Notre objectif est de comprendre les effets d'une variation périodique de ces deux coefficients sur la propagation d'un paquet d'ondes et d'interpréter les expériences de nos collègues physiciens du point de vue mathématique et à travers des simulations numériques.

Chapitre de livre

Orbital stability: analysis meets geometry

avec Stephan de Bièvre et François Genoud

Nous présentons une introduction à la stabilité orbitale des équilibres relatifs des systèmes dynamiques hamiltoniens sur des espaces de Banach de dimension finie et infinie. Nous proposons une formulation pratique de la dynamique hamiltonienne avec symétries et des applications moment correspondantes, ce qui nous permet de mettre en évidence les liens entre géométrie (symplectique) et analyse (fonctionnelle) dans les preuves de stabilité orbitale des équilibres relatifs via la méthode dite energy-momentum. La théorie est illustrée par des exemples de systèmes en dimension finie, ainsi que de EDP hamiltoniennes, comme les solitons, les ondes stationnaires et les ondes planes pour l'équation de Schrödinger non linéaire, pour l'équation des ondes, et pour le système de Manakov.

Thèse de Doctorat

Étude mathématique de modèles non linéaires issus de la physique quantique relativiste

Ma thèse est consacrée à l'étude mathématique de modèles relativistes issus de la physique quantique. L'objectif était d'obtenir une compréhension théorique de ces modèles peu étudiés de façon rigoureuse à cause des difficultés mathématiques liées à la présence des effets relativistes. Cependant, les modèles relativistes sont souvent utilisés par les chimistes et les physiciens; c'est la raison pour laquelle une analyse théorique semble nécessaire. Il s'agissait de donner un cadre mathématique rigoureux à ces modèles, de montrer l'existence de solutions et de proposer une définition satisfaisante de l'état fondamental. Les travaux présentés apportent des résultats intéressants dans cette direction.
Tous les modèles étudiés sont non linéaires et sont caractérisés par la présence de l'opérateur de Dirac $H_0=-i\sum_{k=1}^3\alpha_k\partial_k+\beta m$ qui est un opérateur différentiel du premier ordre dont le spectre contient une partie négative non bornée. Par conséquent, les fonctionnelles d'énergie associées sont toutes fortement indéfinies. À l'occasion d'une telle étude, j'ai utilisé des méthodes d'analyse non linéaire et de calcul variationnel adaptées à ces difficultés.

Plus précisément, dans la première partie de la thèse, j'ai démontré par une méthode de perturbation l'existence de solutions des équations d'Einstein-Dirac-Maxwell dans le cas particulier d'un système statique, à symétrie sphérique de deux fermions dans un état singulet, c'est-à-dire avec spins opposés, et avec un couplage électromagnétique faible. Dans la seconde partie de ma thèse, j'ai étudié un modèle de champ moyen relativiste qui décrit le comportement des nucléons à l'intérieur de noyau atomique. J'ai proposé une condition qui garantit l'existence d'une solution d'énergie minimale des équations de champ moyen relativiste dans un cas statique ; plus précisément, j'ai obtenu un résultat qui lie l'existence de points critiques d'une fonctionnelle d' énergie fortement indéfinie et les inégalités de concentration-compacité strictes.

Ma thèse de doctorat est disponible ici.